最終更新:2016/05/22
アルパインサイドビューカメラスマートインストールキットエルグランド専通販用KTX-N001EL:アットマックス@BURTON バートン RULER ASIAN FITブーツ スノーボード スノボー 15-1ショッピング6グリーンカモ 2016 メンズ 送料無料 日本正規品:BRAYZ【データシステム Datasystem】iPhoneTTV198-TV-トヨタ:あきばお〜支店2お歳暮輪 スウェッジライン フロントホースキット G&K/クリア 品番:GAF692 カワサキ ZX-7R/RR 1996年〜2003年 JAN:4548664444151:オートパーツエージェンシー2号店オリムピック カルツァンテEX GOCAXS-732UL-SS 〔仕舞寸法 113cm〕 【保証書付き】 【ショップレビューを書いて次回使える送料ショッピング無料クーポンGET】:釣具総合卸売販売 フーガショップ2<グローバルエリート>ライペック〜オンラインショッピングLシリーズ〜【外野手用】限定カラー【MIZUNO】野球 硬式用グラブ 13FW(2gw-16017-31)※20:ビバスポーツキャロウェイ Callaway ゴルフウェア ポロシャツ メンズ エンシニータスPT半袖ポロ 241-7157511アシックス:ヒマラヤ店TOYO PROXES CF2 SUV 215/55R17 【215/55-17】 【新品Tire】通販トーヨー タイヤ プロクセス CF2 エスユーブイ:矢東アウトレットショップスターター セルモーター リビルト アルテッツァ GXE10W 28100-70050 送料無料:部品堂通信販売AA hardwear 17-18 ダブルエー ウエア レディース 【JACKSON PANTS 】ジャクソン ビブパンツ BIB SNOW WEAR ウェアー 予約販売品9月末-10月入荷予定:買い物FLEAboardshopOLYMPIC / オリムピック グラファイトリーダー ヌーボビゴーレ  バス ロッド BAITMODEL(Nuovo-VIGORE) GショッピングNVIC-65L/BF ◆:barretMAROYA N-WGN カスタム JH1 ボンネットダンパー スタンダード:TサイドステップopTuner 店スーリー/Thuleドライブシャフト サイクル追加アダプター 973-24 4台目用:オートパーツエージェンシー16-17 MARKER マーカー 2017 ビンディング 金具 エクセル12 XCELL 12 (ブレーキ:70mm) レーシング オールラウンド (-)::PDスキークラブ買い物365【Women's】ASHWORTH -アシュワ通販ース-ペイズリージャガードキュロット【KM836】【送料無料♪】【smtb-ms】:アドバンススポーツBESTEX(ベステックス) 直巻きスプリング ID66-8インチ 19K 2本セット:ブーショッピングトスポットハリケーン [Hお歳暮506-070B] POLICE 2型 ハンドルSET ブラック H506070B【送料無料】:測定器・工具のイーデンキ【B】ウッドライングランドホームテーブル TF-WLGTW送料無料 キャンプ アウトドア レジャー キャンプレジャー キャンプ アウトドアレジャー レジャーキャンプ キャンプ レジャーアウトドア テントファクトリー ナチュラル・ブラウニー【D】:工具ワール六角ド ARIMASニューバランス newbalance メンズ ランニングウェア 3点セット 長袖シャツ ショートパンツ タイツ 男性 ジョギング 贈り物マラソン トレーニング ジム スポーツウェア/NBset-X:WORLD WIDE MARKET2輪 アクティブ 車種専用通信販売スロットルキット TYPE-2 巻取φ28/ステンレス金具 ホルダーカラー:シルバー他 カワサキ ZX-6R 2005年〜2006年:オートパーツエージェンシー【送料無料】阪神素地 鮎タイツチタン ブラック FX-641 【フィッシング 釣具 ウェア お歳暮鮎釣り 用品】【HKN】:eSPORTS支店三和体育 抗菌合成スプレゼントポンジマット <9号・(90×180×5cm)・重量10kg>【メーカー直送・受注生産品:送料別途見積】 S-9640:スポーツ・サポート・店【日本ペイントマリン】船底塗料 うなボートぎ塗料一番 4kg Q6W-NIP-000-001(赤色)/Q6W-NIP-000-002(青色):熊人店ナイキ(niギフトke) サングラス クロストレーナー EV0937-010 (Men's、Lady's):SuperSportsXEBIO支店【ポイントアッププログラム開催中!】【ポイント10倍!】送料無料 パールイズミ(PEAR贈り物LIZUMI) コールドブラック スパッツ 225-3D ブラック:自転車のトライRIDEA 可倒式アジャ買い物ストクラッチレバー 本体:ゴールド アジャスト:ゴールド ZX-9R:GooBikeParts支店アシックスバスケットシューズゲルバースト20th Z (TBF333-0180) 2016:PRO SH通信販売OP B&D店【即納】ユーロバスケット2017大会専用デザイン 公式試合球 BGL7X-ジャージE7T(7号球) モルテン バスケットボール:Sevens FieldMRA(エムアールエー):バイク スクリーン スポイラー グラデーション無 RVF750(94-) / RVF400(NC35)用 ブラック通信販売 MS016K:イチネンネット2003 ハーレーダビッドソン Harley Davidson FXSTD Softail Deuce ドライバー Floorboard Pads, メーカー: 贈り物バイカー Choice, DR F-BOARD W/ラバー MOUNTS (海外取寄せ品):シアターショッピングRS-R サスペンション プレサージュ TNU31 2500 NA [15/7〜] Ti2000 DOWN フロントのみ:TopTuner 店JURAN(ジュラン)レーシングスライドレール(RZタイプ)ホンダ シティ GA1/2 86.10通販-94.06 左側用:リデューカークリエーション【送料無料】K&N [ケイアンドエヌ] エアフィルター[純正交換タイプ] 【BMW】3・5 SERIES / X3 / Z3 / Z4お歳暮 / アルピナ 33-2070:特選パーツカー狂防水ハードケーオンラインショッピングスiPad・キーボート (内寸)282×201×41mm (EA927-23):DIYツールストア 店ライト G-771 ショクラブットナビ(ShotNavi) 腕時計型 GPS ゴルフナビ W1-FW 【全3色】 【ゴルフ】:ゴルフセオリースペーシアカスタム[新車搭載バッテリーM-42R対応品]GSユアサバッテリー【ECO,R(ロングライフ)】EショッピングL55B20Rバッテリー:リムコーポレーションZERO スーパーフロアマット (ダイヤモンド) MERCEDES-BENZ メルセデスベンツ Cクラス W202 1993〜2000 左右オンラインショッピングハンドル:東京流通センター 店【 トヨタ アクア 型式 NHP10 年式 2011NBOX/12-2014/11 】≪ リア ≫【 品番 6TLED011 】 ROWEN トミーカイラ 【 LEDエンブレム 】:アールエスカーメイト エンジンスターター ネ50036イキッド 5ドア H11.11〜H16.4 L750S/L760S系 キーフリーシステム・イモビ無車 TE-W5100+TE81:業販ネットショップ店RIDEA 可倒式アジャストブレーキレバー 本体:グリーン アジャスト:ブラック T-M通販AX530:GooBikeParts支店【新生活応援セール!3/18(10時)〜3/21(9時59分)まで】Under Armour Yard ヤード Mid ミッド ST - Mens メンズ 白・ホワイト/赤・カーディナル:ス買い物ニーカーケース 店【14インチ】単品set 【日本製★国産 ガリットGIZ】165/65R14【Claire MD10】4.5J-14inch 4穴 PCD100 in43 DH-21HEX M12×P1.50アトレーワゴン(S220G S2買い物30G S220V S230V系)等にお勧め格安 スタッドレスセット 1輪分 165/65-14:宅配タイヤ太郎YZF-R6(05年〜) 可通信販売倒式Rタイプ アルミビレットレバーセット(グリーン) U-KANAYA:バイク用品・パーツのゼロカスタム
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学