最終更新:2016/05/22
フロントブレーキホースキット クリアホース ゴールド/ブルー アルミ RGV250(ガンマ)93〜95年 用品スウェッジライン(SWAGE-LINE):バイク メンテ館2017NEWモデル SPARCO スパルコ DELTA RW-6 アンダーウェア T贈り物OP トップ ロングスリーブ ホワイト FIA公認8856-2000 (001770MBI):モノコレLEAD STRAX フルフェイスヘルメット Mサイズ SF-12/車用品 バイク用品 バイク用品 ヘルメット フルフェイス:あっと通販らいふメルセデスベンツ C200クーペ(GF-203745) 車種別カット済フィルム(ミラータイプ各色)【カーフィルム カット済み】【カー用ガラスフィルム品】【冬対策!UVカット!燃費向上!エアコン効率UP!飛散防止!災害対策!暖房効率UP!カーフイルム!スモーク!】【02P03Dec16】:クリックトラストマークX GRX120/121/125 アルミ ハブ/ドラムカバー フロントのみ カラー:レッド シルクロード HCT-009【送料込/送料無料】【ポイントショッピング2倍】:ユニクラス 店カーマット フロアマット 日産 サニー・カルフォルニア 2年10月〜5年8月 -スコーナーライトポーツチェック ブルー:PARTS◆送料無料◆ミズノ中学硬式用金属バットビクトリーステージ通信販売Vコング022TH269-N:キタスポ店2輪 RK EXCEL シールチェーン STD 鉄色 520X-XW 120L NC700X デュアルクラッチ/ABS 輸出仕様 Nお買い得C700X/ABS 輸出仕様 SLR650:オートパーツエージェンシー2号店U-KANAYA アルミ削り出しビレットフォークガード ガードカラー:シルバー リングカラー:レッド CB400Four:GooBikePar通信販売ts支店[PギフトC-1082] GruppeM M's パワークリーナー パジェロイオ H72W 4G94 年式:00.06〜06.01:パワーウェブ2号店ba-cph100 ザナックス ザナックス コウシキヨウ プロテクター 50:カスカワ野球贈答品店CB400SF HYPER VTEC/2/3・CB400SB(NC39) リアサスペンション(レッド&シルバー) U-CP(ショッピングユーシーピー):バイク用品・パーツのゼロカスタム【送料無料】シマノ(SHIMANO) ビンディングシューズ SH-RP300MWE ホワイト 36(22.5cm)〜39(24.5cm) メテーブルンズ SPD 靴 【自転車 サイクル ロードバイク レース スポーツ】:eSPORTS支店F2G-002W ウインター カウレザー グローブ 贈答品キャメル 3Lサイズ FREE×FREE(フリー×フリー):バイク メンテ館U-KANAYA レバー スタンダードタイプ 二輪車アルミビレットレバーセット レバータイプ:ショート(レバー部全長:約143mm) アジャスターカラー:グリーン レバーカラー:チタンカラー GSR250 GSR250S GSR250F:ウェビック 店zoom/ズーム 230kgf/mm^2 ダウンフォースHG-S 2本セット S65152160 ID65mm 内径65mm 6inch(152.0mm) ばね定数ギフト16.0kgf/mm:オートパーツエージェンシー2号店[5月下旬予定] Friday Lab Deeper Pro ワイヤレmoecoススマート魚群探知機(Wi-Fi) # FRI-BT-000003 フライデー ラボ [ホビー] [PSR]:Premium Selection 店【中古】中古部品 マークX GRX120 フロントエキゾース贈り物トパイプ 【13429888】:e-cleマートコーリン 赤白テール HTRF1STP-B-ギフトRC-01 ホンダ ステップワゴン RF1〜2:オートパーツエージェンシー2号店GSX-R600 750 2006-2007 [LUIMOTO] NC750ライダーシートカバー (Lucky Strike 4043101):LCIカヤバ/KYB ショックアブソーバ Excel-G リア 343184×2 BMW 3シリーズ(E30) カブリオレ 318/320/325i 1985年〜1993年02月:オートパーツエージェ通信販売ンシー2号店ZEAL (ジール) ドムス F-1261 ガンメタル/ブラック マスターブルー/シルバーミラー (サングラス 偏光グラス):お中元フィッシング遊【弓道】【弓道着物】【H-018】【弓道用】着プレゼント物セット 男性用特大【RCP】:山武弓具店PLOお中元T スウェッジライン ブレーキホース T-100 EXキャブ SR5 1台分 ステンレスフィッティング:リデューカークリエーションBLITZ ブリッツ No.59067 トヨタ アルファード(ANH10系)用 サスパワー コアタイプLM エアクリーナーSUショッピングS POWER CORE TYPE LM-RED:クレールオンラインショップホンデックス 8.4型カラー液晶プロッターデジタル魚探 HE-8301-Di-Bo DGPS外付仕様 1kw 【代引不贈り物可/返品不可】 【ショップレビューを書いて次回使える送料無料クーポンGET】:釣具総合卸売販売 フーガショップ2Puig プーチ レーシングスクリー通信販売ン カラー:グリーン YZF-R6:ウェビック 店バイク用バッテリー ZRX ZR400E 用 YTX9-BS VRLA(制御弁式)バッテリー GSユアサ GS YUASA カワサキ KファンベルトAWASAKI:Star-PartsHammerHead ハマーヘッド ブレーキペダル・シフトペダル ブレーキペダル ラージアルミティップ カラー:レッド RM-Z250 贈り物RM-Z450:ウェビック 店0910-1049 22882200 バーテックス Vertex ピストンキット 03年-04年 RM6贈り物5 46.45mm(ビッグボア):ヒロチー商事 ハーレー 店【中古】再生部品 サイノスプレゼント EL44 左フロントドライブシャフト 【1656426】:e-cleマート永井電子 ULTRA(ウルトラ) シリコーンパワープラグ ミツビシ ミラージュ キャブ E-CA3A,CB3A,CC3A,CD3A 4G91買い物(DOHC)用:リデューカークリエーションDimotiv 可倒式スライドクラッチレバー/KawasakiZZR1400/Z買い物X-14 カラー:レッド:バイクブロス支店Siecle(シエクル)  MINICO贈答品N ATH20 アルファード/ヴェルファイア ハイブリッド 【MINICON-T9A】:supreme店D-SPORT コペン L880K ブレースバお買い得ータイプIII:TopTuner 店TYC 20-9019-00-1 Jeep グランド Cherokee Right リプレイスメント Head ランプ (海外取寄せ品):オンラインショッピングシアター■NGK [93228] *1台分12本セット* プレミアムRXプラグ BKR5ERX-11P * メルセデス ベンツ C240 GオンラインショッピングF-203061 112M26 2000年9月〜2002年10月:カー用品卸問屋 ニューフロンテアLouis Garneau ルイ ガギフトノ SF-2 Plastron Base Layer Sleeseless メンズ用 Men's (White) Louis Garneau ルイガノ 自転車 ジャージ【送料無料】【代引不可】【あす楽不可】【05P20Aug16】【0818】:【I LOVE LA】買い物2輪 アクティブ DNA モトフィルター RD-0107 JAN:4538792525235 ドゥカティ 1098R 2008年〜2009年:オートパーツエージェンシー【ACTIVE アクティブ】 グローブスロットルKIT [ホルダー:TYPE-1 SIL] 巻取φ28([メッキ金具] TMR用 700mm) 【1068170】:Dimension-3unicar(ユニカー工業):溶けないバイクカバー(ハーフタイプ) 4Lサイズ BB-706:贈り物イチネンネット【メーカー直送品】ALCABO/アルカボ BMW X1シリーズ(E84)用ドオンラインショッピングリンクホルダー 右/左ハンドル シルバー AL-B109S(沖縄・離島不可):ゼンリンドライバーズステーションNTK製 O2センサー/オキシジェンセンサー [ 品番:OZA684-EJ1 ]エブリイ DA64V ヤナセエンジン型式:K6A(DOHC) 新品 ※適合確認が必要。ご購入の際、お車情報を記載ください。【smtb-k】【kb】【カード分割】:パーツキング店
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学