最終更新:2016/05/22
D-1 リアスプロケット設定丁数36・37 ISA 贈答品800 SPORT(03年〜):バイク用品・パーツのゼロカスタムACTIVE スロットルKIT [ホルショッピングダー:TYPE-3 SIL] 巻取φ28 DUC 749/S/R アクティブ:総合レジャー用品問屋クレスト【送料無料】【片岡製作所/KATAOKA】【Brieto/ブライト】M-101オンラインショッピング M11-PRO ヨーロッパ コックナイフ 320mm JAN:4906496808013 【キッチン用品/調理器具/包丁/ナイフ】:ものうりばPlantz【店頭受取でP5倍(要エントリー)】159 プラグ 6本セット HKS SUPER FIRE RACING M40i お中元PLUG GH-93932 NGK8番相当 スパークプラグ:KTSFACTORY16-17 BURTON /贈り物 バートン ENCORE JACKET ウエア ジャケット メンズ 取り寄せ商品 スノーボードウェア 2017 + 型落ち:BREAKOUTSWAGE-LINE スウェッジライン フロント ブレーキホースキット ホースの長さ:30mmロンヘルメットグ ホースカラー:クリア CB1300SF:ウェビック 店【中古】中古部品 ライフ JB1 触媒コンバーター 【13194292】:eオンラインショッピング-cleマートアシックス(asics) バスケットボールシューズ GELHOOPV 9-wide TBF335 ホワイト×ギフトシルバー 24.5cm:COM-WIN【中古】中古部品 S-MX RH1 右テールランプ 【9406304】:e-cleマート買い物ディクセル 買い物ブレーキローター PD インテグラ DC2 95/9〜98/2 TYPE-R 96スペック フロント用左右1セット 送料無料:オプショナル豊和アンダーアーマー Under Armour Allsports Over-the-Calf Socks Midnight MD 【アメコミヒーローデザイン ヒートギア】:premiギフトum stone galleryMIZUNO FIELD GE通信販売O AJ U1GA1541 カラー:36 サイズ:26cm:EC-JOY店【特注】 ヤマハ リミックス116 ウェッジ [KBS Cテーパー] カーボンシャフト RMお買い得X WEDGE C-Taper:Japan Net Golf 店CROSSPRO 贈答品エンデューロ エンジンガード アルミ カラー:ブルー 450 SX-F:バイクブロス支店RDmoto アールディーモト ガード・スライダー クラショッピングッシュプロテクター・ガード(Crash protectors) アルマイトカラー:シルバーアルマイト スライダーベースカラー:ホワイト ER-6n:ウェビック 店EXTRAシールド 【SH体温計OEI CJ-2 PINLOCK】 クリア/シルバー 【J-FORCE4/J-Cruise対応】:アスリートトライブ【店頭受取でP5倍(要エントリー)】W203 C-CLASS SEDAN C200 ダウンサス 1台分 Espel通信販売ir Super DOWNSUS ESL-045 エスペリア:KTSFACTORY797-034-1000 ヨシムラ TMR・Pフィルターアダプター(P34/4コ):通販ヒロチー商事 ハーレー 店ヤナセ ユーロブラック 外車ギフト用バッテリー [品番:SB075L]適合車種:アウディー100 2.8E※必ず現在お使いのバッテリーの Ah数・サイズ を確認して下さい。【smtb-k】【kb】【あす楽対応_近畿】【カード分割】:パーツキング店【中古】中古部品 アヘ通販゙ニール VEW10 リアマフラー 【11067308】:e-cleマートPROTEC[プロテお歳暮ック]:FLH-535 LEDドライビングライト 遮光板有り(REVセンサー無し 増設用子機)/ボルト方向 下 【66535-D】:バイクパーツ MotoJam 店17日9:59迄限定エントリーでポイント5倍★トーエイライト(TOEI LIGHT) メッシュベスト10枚組 JW(青)B-3254B 【ゲームウエ贈答品ア】[ビブス(ゼッケン)]:eSPORTS支店SKINS/スキンズオンラインショッピング DK9906005-BKYL DNAMIC ウィメンズ ロングスリーブトップ 【S】 (ブラック×イエロー):エムスタ【US買い物A在庫あり】 CK4434 EBC イービーシー CK クラッチキット 79年-06年 カワサキ:株式会社ヒロチー商事 店【The Beetle |ショッピング ハルトデザイン】The Beetle フロアーマット(loop・ベージュ)前後4セット 左ハンドル マットタイプ:クリップ フチカラー:モスグリーン:PIT-4所プレゼント沢■【中古】【即納】[7213] オノフ ONOFF XI-S/RODDIO PENTACROSS S-6/S/10:ゴルフ道具商 ゑびすや210-406-0151 ヨシムラ カムシャフト ST-2 APE100、プレゼントNSF100:ヒロチー商事 ハーレー 店2輪 POSH Faith クラシカルウインカー(71タイプ) 車種専用セット メッキボディ/オレンジレンズ 031491-53通信販売 カワサキ ゼファー1100/RS 〜2000年:オートパーツエージェンシー【スペーシア | シルクブレイズ贈り物】スペーシア カスタム MK32S Lynx EYE LINE メーカー純正塗装済品 ブルーイッシュブラックパール3 (ZJ3):PIT-4HEALTECH ELECTRONICS ヒールテックエレクトロニクス インジケーター GIpro-X Y01 グリーンヘルメット FZ8:ウェビック 店◆【半袖シャツ系】【SG1816】【春夏モデル】Munsingwear-マンシングウエア- MENS (メンズ) 半袖ポロシャツ 【16】【日本製】【トップス】【ウェア】M,L,LLサイズ | ・ ゴプレゼントルフ:パワードーム ゴルフ専門店ペットバギー調理小道具・下ごしらえ用品 L'ATELIER DU VIN (ラトリエ デュ ヴァン) バブルインジケーター 2個セット 095075-5:創造生活館【買い物GS YUASA】【ジーエスユアサ】【バイク用】バッテリー Y50-N18L-A:バイクショップ はとやPAPAGO GoSafe 268 ルームミラー型 高画質 フルHD ドライブレコーダー パパゴ GS268-16G 駐カーナビ車監視機能付:オートワーク店【smtb-k】【kb】MLB オお中元ーセンティック プレーヤージャージ55 松井 秀喜選手:スポーツショップ ビックButterfly System ストリーム通販 RN1-5 レースダッシュマット 年式:H15.9-H18.7 カラー:レースピンクxブラック:TopTuner 店NGK(エヌジーケー) イリジウムMAXプラグ 05/6〜 ジャガー Xタイプエステート エステート2.5V6SE (ABA-J51XB XB) 6本セット:P買い物ARTS【スベリーダンス 衣装 セットペイン製 送料無料】ハイウエスト ベルト風 2WAYマーメイドファルダインポートドレス 水玉 ダンス衣装,フラメンコ 衣装,社交,コーラス,モダンミカドレスsfr12-r:ダンス衣装格安専門店 ミカドレス【中古】中古部品 ヴォクシー AZR60G リアマフラー 【13352582】:e-clお歳暮eマート【99009-15vm】Black & Grey Colorblocked Woven Shirt S/M/L/XLハーレーアパレル:アンバーピハーレーース【14インチ】単品set【日本製★国産 アイスガード IG50+プラス】175/70R14【LITERACY LギフトR01】5.5J-14inch 4穴 PCD100 in42 NI-21HEX M12×P1.25キューブキュービック(BGZ11 YGNZ11 YGZ11)等にお勧め激安 スタッドレスホイール付 1輪分set:宅配タイヤ太郎キタコ 809-1440300 LEDテオンラインショッピングールランプセット クリア PCX NEW:Bike man【USA在庫あり】 0650-0901 002-055-06 WSM スロットル ケーブル ヤマハ700 Super Jet GM6-6725通信販売2-00-00:株式会社ヒロチー商事 店
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学