最終更新:2016/05/22
【VALENTI ヴァレンティ/ギフトバレンティ】ドアミラーウィンカーレクサス LEXUS type 1 ライトスモーク/ブラッククローム/ホワイト【DMW-L1SW】:アットマックス@【お買い得RT-001A】6段変速付LEDオートライト装備(ラテ)/折りたたみ/フォールディング/折りたたみ自転車/フロントバスケット付/リヤパイプキャリア付 自転車安全整備士が点検、整備して組立するので安心安全です!:自転車秘密基地 店パイオニア カロッオンラインショッピングツェリア エアーナビ 地図更新ソフト CNSD-A800:アットネットサービスKS AUTO RX-8贈答品 KD-IV EYE LINE FRP製:Autostyle【予約CAL17】【国内未発売】バーリ ホーム ショッピング半袖【16-17/BARI/セリエB/サッカー/ユニフォーム】0825:ECムンディアル【ポイント最大16倍&クーポン5%OFF】 ヘッドレストモニター 8インチ NISSAN X-TRAIL(マイナー前)H12.10〜H15.5 T30小型車も対応 高解析度1366x768 配線付 LED液晶 タッチパネル贈り物操作 【2個入り】 1年保証 分配器付 【10P04Mar17】:光トレーディング4560216418通信販売427 ヒットエアー hit-air レーシングレザーグローブ R3 黒/赤 Lサイズ:株式会社ヒロチー商事 店マックスエンタープライズ ZONE BギフトMW F-スタイル シフトノブ 品番:282091 BMW E63/E64 6シリーズ LHD 2003年〜2007年:オートパーツエージェンシーZ1-R スクリーン スタ工具ンダード Anny's(アニーズ):バイク用品・パーツのゼロカスタムコベルコ パワーショベル SK09-N2(マイナ) #LQ03(01789-02092) ハイドロリックエレメントH-632(2ヶ)(リターン) ショッピング送料無料!:JUKO.IN 店B014L-01-27.5 バギー Buggy ツーリングブーツ 黒 贈答品27.5cm:株式会社ヒロチー商事 店【新生活応援セール!3/18(10時)〜3/21(9時59分)まで】Nike Nike ナイキ オニツカタイガーThermal 1/2 Zip Golf golf ゴルフ Cover-Up - Womens レディース カウント purple 紫・パープル/Wolf grey GRAY灰色・グレイ:スニーカーケース 店【店頭受取でP5倍(要エントリー)】328Ci プラグ 6本セット HKS SUPER FIRE RACING M40i PLUG GF-AM28 NGK8番相当 スパークプラグ店舗で取り付け:KTSFACTORYアシックス(asics) テニスシューズ オムニ・クレー用(レディース) GEL-COURT ショッピングBELLA OC (TLL777-2110)2016SS:PRO SHOP B&D店MXエンジンオイル 4L  MXE0530-4 デリカD:2 レスポンス高負荷 汎用 モンスタースポーツ スズキスポーツ:贈り物株式会社 スズキモータースYB-6101 イエローコーン YeLLOW CORN YCコットンジャケット ターコイズ 3Lサイズ:ヒロチー商事 ハーレー通信販売 店U-KANAYA スタンダードタイプ アルミビレットレバーセット アジャスターカラー:ブラック レバーカラー:シルバー 買い物レバータイプ:ロング(レバー部全長:約173mm) TL1000R 98-03:ウェビック 店【中古】中古部品 ボルボ 940 9B230W ドアバイサショッピング゙ー 【8579190】:e-cleマート2017 Sun Mountain サンマウンテン 4.5 ショッピングLS Stand Bag Navy/White/Red:G-SelectFUJITSUBO フジツボ マフラー カッター ショッピングRe:FACE 車種:ホンダ フィットハイブリッド型式:GP1 10910062-2:カー用品卸問屋 ニューフロンテア[送料無料][メーカー取り寄せ]EGR 3Dウェザード(フロント) 品番:T10-3D:CARPARTSフジツボ Web Storeトラスコ プロパンバーナー Sタイプ 発熱量12000Kcal/h (1S) 品番:TB-S3:工具ラ通販ンドこだわり館【DAYTONA/デイトナ】サポート&ハンガーセットCR、R、-訳あり03XL:アルクネット自転車 工具 クランプ park tool(パークツール)クランプ #100-1C【送料贈答品無料】:FALCON BIKEコーケン Ko-ken (山下工業研究所) 19.0sq6角ディープソケット(インチ)16300A-2 1個:プロの工具ショップ 買い物YOSHIMURAメンズ NCAA Kansas Jayhawks ブラッ通信販売ク アイス フード Windbreaker ジャケット (Team Color) - XL (海外取寄せ品):シアターHKS 強化アクチュエータ通信販売ーキット 【品番:1430-RT004】 トヨタ マーク II 型式:JZX100 エンジン型式:1JZ-GTE 年式:96/09〜01/06:PowerWebミカサ ゲームジャケット ハーフ10枚 グリーン MG-GJH10G-:ZIPスポーツ ショッピング支店フードパントローリー シングルコラム ST-5201 【カート ラック ワゴン】【ホテルパンラックカート】【厨房用カート】【専用カート】【業務用】:PRO-SHOP カウンターチェアーYASUKICHIフロントディスクブレーキパッタイミングベルトド エルフ 型式 NKR66L NKR66E NKR66G 用 1PU2-33-28Z ロードパートナー ROADPARTNER △イスズ いすず ISUZU▼:Star-Parts【送料無料】江沼チェーン製作所 EK チェーン 530SR-X2 リンク数98 814042 ゴールド 【バイクパーツ 贈答品本体】:eSPORTS支店【イベント開催中!】SUNSTAR サンスター フロント・リアスプロケット&チェーン・カシメジョイントセット チェーン銘柄:RK製STD520R-XW(スチールチェーン) XR25オフロード0 Motard:ウェビック 店Carbonin カーボニン フロントフプレゼントェンダー 素材:強化ファイバーグラス YZF-R6:ウェビック 店X.A.M 買い物Japan (ザムジャパン) A6404X52 530-52T スプロケット A6404X52:生活通販ETCHING FACTORY DUKE690(12-)用 ラジエターガード カラー:赤エンブレム通信販売 DUKE690:バイクブロス支店欠品中【データシステム】TV-KIT 切替タイプ HTV351[ホンダ標準装備]CR-V・CR-V・MDX・S2000・アヴァンシァ・アコタイヤチェーンード・アコードワゴン・インスパイア・インテグラ・エアウェイプ・オデッセイ・シビック:まんてん屋snow peak(スノーピーク) Take!チェア ロング 通信販売LV-081R:YAMAKEI別館キッチンアラモード ミニマッシャー PI 【KMM-11P】 (SK) 【120点】通信販売kakusee『FS』:特産品くらぶ 生活館SWAGE-LINE ショッピングクラッチホースキット ホースエンド:ステンレスブラック ホースカラー:ブラック GPZ750R GPZ900R:バイクブロス支店カナテクス TBX-H002 ホンダ アコード 2DINオーディオ/ナビ取り付けキット 【H9/10〜H12/6】:クレールギフトオンラインショップジェネシス 100オンラインショッピングL クーラーボックス GE-1000S (大容量) 【OUT-C】:釣具の三平【中古】中古部品 バネットプレゼント SS28MN フロントエキゾーストパイプ 【11249177】:e-cleマート【送料無料】寝袋/シュラフ ロゴス LOGOS NEWダウンアリーお歳暮バ・-6 / 適正温度目安 -6℃まで【smtb-k】【w2】:いいお店 店
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学