最終更新:2016/05/22
SALOMON サロモン 2016-2017 DIALOGUE JP ダイアログ JP スノーボード ブーツ 国内正規品 【RCP】:太陽スポーツ・Ramジュニアpjack Trip店MICHELIN CITY GRIP 110/70-1買い物6 52P TL Front:矢東タイヤアンダーアーマー Under Armour Boys 2-7 プレゼントBrawler Knit Pant 【アメコミヒーローデザイン ヒートギア】:premium stone galleryPEO ZERO POINT SHAFT Front 付属品:T贈答品-80:バイクブロス支店がまかつ アお歳暮イゴバサミ&ナイフ GM-1889 【ショップレビューを書いて次回使える送料無料クーポンGET】:釣具総合卸売販売 フーガショップ2◇アシックス 競泳 水泳 スイミング ハイパフオ-マンス水着 メンズ TasicsIスパッツ ASM501-9446:FZONEスポーツ【MIZAR-TEC】ミザールテック オイル式地図用ポケットコンパス クリスギフトタル 日本製 GS-34 /50点入り(代引き不可):リコメン堂生活館NGK(エヌジ車高調ーケー) NGKプラグ 02/9〜06/8 ポルシェ ボクスター (GH-98623 61) 6本セット:PARTS【固型タイプ】パズデザイン:コンプリートIII パズデザイギフトン20周年記念モデル SLV-015 フリーサイズ ブラックホワイト【ライフジャケット】【送料無料】:リバース支店カーオンラインショッピングマット フロアマット 三菱 ランサー・エボX 19年10〜 AT/CVT/寒冷地仕様-ECOブラック:PARTS15-16 DRAGON ドラゴン APX1S APXS X1S ゴーグル スノーボード 15-16モデル スキー スノーゴーグル DRAGON ブレーカーアウトドラゴン 球面レンズ:【SIDECAR】SURF&SNOW106-KD001 (POWER CHAMBER)パワーチャンバーfor K-Car スーパーレッド ソニカ C通販BA-L405S KF-DET (ターボ) 2006.6〜2009.5:パワーウェブ2号店AP メッシュサンシェード ブラック 1,2,3列目/リアガラス用 マグネットタイプ AP-SD069 入数:1セット(7枚) トヨタ アルファード/ヴェルファイア 2お歳暮0系 2008年05月〜2015年01月:オートパーツエージェンシー2号店【送料無料】ハイゼットお買い得 トラック S200P/S210P アルミ ハブ/ドラムカバー リアのみ カラー:鏡面レッド シルクロード DCD-004【代引不可】:ゲンキー贈り物【父の日セール】re;make(リメイク) ラグジュアリーフロアマット アコード CD3〜6 全7色!:T-LINE PROJECT 店【純正】SUBARU STELLA スバル ステラ【LA100F LA110F】  カーボンタイプパネル(センター)[J1347K3120]:車の部品屋買い物 C-parts【15インチ】単品set【日本製★国産 アイスガード IG50+プラス】1買い物95/65R15【ROSTA SWORD SPORK】6.0J-15inch 5穴 PCD114.3 in45 TY-21HEX M12×P1.50オーリス、アイシス、マークII、アルテッツァジータ等にお勧めスタッドレスタイヤ 1輪分が激安!:宅配タイヤ太郎送料無料 (沖縄/離島除) ■トプレゼントーヨータイヤ TOYO PROXES C1S SPEC-a 225/45R17 94W XL:パーツショップWAVE店SPARCO RACING Glove レーシンググローブ TORNADO プレゼントL-5 Size:08 黒:TopTuner 店カーマット フロアマット 三菱 ギャラン 8年8月〜17年12月 2WD-LUXブサイドマーカーラック:PARTSオークリー 通販OAKLEY スノーグローブ FACTORY WINTER MITT [ 94186-001 ] ファクトリー ウインター ミトン [94186-001]:MSP NET SHOP 店【中古】中古部品 ムーヴカスタム L900S 左ヘッドライト通販 【6043215】:e-cleマートワークスベル ハンドルボス ニッサン エルグランド E50 H9/5〜H12/7 SRSエアバッグ Works Bell ユニバーサルハ贈り物ブキット:e-TATSUYA堺孝行 霞研 鎌形薄刃 24cm 【業務用包丁】【和包丁】【ナイフ】【和食包丁】【業務用】お中元:PRO-SHOP YASUKICHIマーブルカップ ゴルフ テーラーメイドMC.1339-A   松下徽章 【文字刻印代無料】【ポイント2倍】【最安値に挑戦】【送料無料】:モンドゴルフSP武川 タケガワ 09-11-01ヘルメット ホルダー66 タックロールシート シート HONDA モンキー:モトキチ【限界価格へ値下げしました!!!】【シューズ系】ダンロップ-- アシックス-ASICS- GEL-ACE PRO FG★3E(TGN907)/GEL-ACE PRO FG-RF★2E(TGN908)ヨネックス ゲルエース プロ ゴルフシューズ (2E/3E)【/ダンロップ 2015年FWカタログ商品】:パワーゴルフ(PowerGolf)(クーポン配布中) ACTIVE スロットルKIT [ホルダー:TYPE-2 BLK] 巻取φ40 [メッキ金具] CBR600RR 05-12 1069023 【送料無料】(北海道・沖縄除く):PartsBoxSystemJaショッピングpan【6510-】 MESH ヒンジカバー サテンブラック ハーレーパーツ:アンバープレゼントピースガラス(硝子)・クリスタル 線立ライン 酒器セットブルー(徳利・盃×2) 還暦祝い 結婚祝い 内祝い 引き出物 誕生日 母の日 敬老の日 記念日 退職祝い 業務用店舗のプレゼプレゼントントに!【smtb-TD】【yokohama】 冷酒 日本酒 焼酎:お値打ち本舗【受注生産】ホンマゴルフTOUR WORLD TW737 450 ドライバーVIZARD EX-A 55/65/75 シ贈答品ャフト装着本間ゴルフ/HONMAEX-Aシャフト【送料無料】:RAINBOW MARKETellesse エレッセ レンズ交換式1眼タイプ スポーツサングラス ES-S10通信販売8 ブラック×レッド【送料込/送料無料】【ポイント10倍】:ユニクラス 店【70/75 ノア | スーペリアオートクリエイティブ】CX SUPERIOR ダッシュマット オンラインショッピングノア 70系 【センタースピーカー】無し:PIT-416-17 レデnorthfaceィース VOLCOM ジャケット BOLT INS JACKET h0451708: mlt 正規品/ボルコム/スノーボードウエア/ウェア/snow/2017:セカンドブランド【USA在庫あり】 432046 25-014 TOKYO MODS TMODS クラッチ スプリング KT お歳暮CRF450R:ヒロチー商事 ハーレー 店(クーポン配布中) COERCE RSF.フ通販ェンダーFRPCBR1100XX白ゲル 0-42-CFFW1108 【送料無料】(北海道・沖縄除く):PartsBoxSystemJapan【 スバル インプレッサ 型式 GVB/GVF 4WD 2000cc ターボ 年式 2010/7-2014/8 ※フロアオンラインショッピングボード&内装要加工 【 リア 】≪ タイプ:OS オーバルシャフト 断面:タイプ1 ≫】 クスコ CUSCO 【 ストラットバー 】【 商品コード 692-541-A 】:アールエス■CLAZZIO(クラッツィオ) Bros Clazzio ダイハツ ムーヴ H18/10〜20/12 L175S/L185S【ED-0658】:パーツショップWAステアリングVE店【イベント開催中!】 Magical Racing マジカルレーシング フロントフェンダー 素材:FRP製(ブラック) GSX-R1カスタム000 GSX-R600 GSX-R750:ウェビック 店【代引・日時お買い得指定不可】【北海道沖縄離島不可】トーエイライト(TOEI LIGHT) ミニサッカーゴール アルミサッカーゴール1520 B-3881:コムコム comcom 店ユニカー工業 超撥水&溶けないプレステージバイクカバー ブラオンラインショッピングック 8L BB-2010:通販奉行パールイズミ 【T997-3D】プリント ビブ タイツ(10℃対応) 41.パールイズミ:ワールドサイクショッピングル ウェアハウスSize【L】SOPH(ソフ) ×NIKE FCRB GYMオンラインショッピングライン 11AWフードPDKジャージジャケット【紺青】【中古品-良い】【中古】:ブランド古着の買取販売Stay246
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学