最終更新:2016/05/22
【イベント開催中!】 HOT BタイヤODIES RACING ホットボディーズ レーシング ウインドスクリーン 仕様:SS ウインドスクリーン (純正形状) クリア ZX-10R ZX-6R:ウェビック 店2輪 ツルノテクニギフトカルサービス レーシングハンドルキット 12.5° P030-1231 ホンダ TZM50R/NSR50R 1995年〜:オートパーツエージェンシー2号店リブレ(LIVRE) WING(ウイング) ダイワ用お歳暮 80mm GMT(ガンメタ×チタン) WD80-FID1-GMT:ナチュラム 支店SHODEN/昭電 雷対策 サンダーブロッカー SPR-TB-CAT5e-A2:mei贈答品dentsu shop贈り物HF-1002 ワイヤー入り3段合わせフリルスカート ネイビー/多色花柄【日本製】【フラメンコ衣装】:フラメンコのイベリア 店HURRICANE(ハリケーン)300シッショッピングクスベンドハンドル&ケーブルセット TW200 1996-1999年:バイク メンテ館【100マークII | アペックス】パワーインテーク マークII GX100 1G-F贈答品E NA用:PIT-4【USA在庫あり】 46-3752 RFM0029 クワッドボス(QUADBOSS) COOLING FプレゼントAN:ヒロチー商事 ハーレー 店Callaway(キャロウェイ) XR フェアウェイウッド Tour AD MJ-6 カーボンシャフト [日本正規品]:EX GOLF通販【バイク フェンダーレス】RIZOMA リゾマフェンロッシダーレス・キットZX-10R 08-10/ZX-6R 09-:MC ヴィオ2輪 RK EXCEL シールチェーン GV ゴールド GV520X-XW 120買い物L 690SM 690デューク:オートパーツエージェンシーSWAGE-LINE スウェッジライン リア ブレーキホースキット ホースの長さ:150mmロング ホースカラー:ブラックスモーク ドレスアップZR-7/S(99-06):ウェビック 店061ハーレーパーツ0-0217 1024 クリアキン Kuryakyn シルエット レバー(左右ペア) 82年-95年:株式会社ヒロチー商事 店モンローショック Reflex リア2本 [MINI 全車 1959-2000 ミニ ] Monroe ショックアブソーバー 送料無料【web-carshop】ギフト:web-carshopキタコ(KITACO) リアショックアブソーバー(G260) エイプ50/エイプ100/XR50モタード等 ブラック・レッド 520-11222プレゼント10:生活通販【当店オススメ】今だけ送料無料!FROG PRODUCTS/フロッグプロオンラインショッピングダクツ【TOY-MACHINE ZERO/トイマシーンゼロ 】スケルトン 荒井謙太 トップ道:自然堂2輪 RK EXCEL シールチェーン GP シルバー GP520X-XW 1カーパーツ オートパーツ 自動車部品 カー用品10L 660SMC:オートパーツエージェンシー2号店KITACO タンデムバー シグナスX/-ギフトSR(FI車):バイクブロス支店【スパテラ】【送料無料】セントローマン ノンスリップグリップスパチュラ(ダブルグリップ)小01300【柄長680mm】 (6-0192-0703):業務用メラミン食ギフト器の通販KYOEIクラッチディスク インプレッサ GG2 用 FJD035U エクセディ EXEDY △スバル 贈り物SUBARU○:Star-PartsEVERNEW エバニュー ライントレッドミル引エキスパート276-2 EKA607:スポーツダイアリーフットジョイ ゴルフクラブFOOTJOY ストレッチストレートパンツ FJ-S17-P02 2017年春夏モデル 【あす楽対応】:モリタゴルフ【nightsal贈り物e】 asics/アシックス GGG184-23 ハンマーバランスクラブ 一般右打者専用 (レッド) 【84cm】:ムラウチ2輪 アクティブ ハイスロットルキット TYPE-3(TMRキャブ専用) P040-4198 ガンメタ ワイヤー通信販売800mm:オートパーツエージェンシーROCKY/ロッキー 業オンラインショッピング務用ルーフキャリア適合車種:ブラボー U10系・U40系タイプ:標準ルーフ[品番: STR-420 ] 6本脚【smtb-k】【kb】【カード分割】:パーツキング店EK CHAINE 【エヌマ チェーン】 520SRX(BK/GP) 【ブラック&ゴールド】【120L】 MLJグローブ(カシメ) 【シールチェーン】:Dimension-3B014LL-01-24.5 バギ通販ー Buggy ツーリングブーツ 黒 24.5cm:ヒロチー商事 ハーレー 店ステップワゴン[UA/CBA-RF3~8][03通信販売/06〜05/04]Vanner(バンナ)シートレール【SparcoR-100シート専用】【右座席用】◆受注生産品:リムコーポレーション【240521 ツヴィリングJ.A.ヘンケルス プレゼントTWIN Houchoh S57 筋引 34288-271】※発送目安:入荷未定 ※代引不可、同梱不可P16Sep15、fs04gm、【RCP】:カジュアル&スタイリッシュmaomao【送料無料】 ゼットお買い得 ZETT プロステイタスオーダー 硬式グラブ 二塁手用 184型 平野型 チョコブラウン 右投げ BPGPRO184-3700A-LH:カスカワ野球店SWAGカスタムE-LINE スウェッジライン リア ブレーキホースキット ホースの長さ:50mmロング ホースカラー:クリア GSX750S KATANA(3)(84-85):ウェビック 店U-CP ユーシーピー リアサスペンシショッピングョン VT400S VT750S:ウェビック 店【AZワゴン MJ21/22 | バタフライシステム】AZワゴン MJ21S (H15.10-H20.9) モノグラムマルチカラーダッシュマット ツイーター無用 カ買い物ラー:ブラック:PIT-4『即日出荷ヨネックス』「2017新製品」Babolat(バボラ)「Women's レディース クロップドパンツ BAB-2741W」テニスウェア「2017SS」「あす楽対応」:pro sportsカーメイト エンジンスターター ハイエース バン H19.8〜H24.5 H2##V/H2##K系 イモビ無車 お歳暮TE-W7300+TE104:業販ネットショップ店Odax贈答品 【オダックス】 STILL ROLLING HIDキット Lo-H4キセノン/Hi-ハロゲン 1灯 【STLH-H4/2】:Dimension-3【送料無料!】データシステム SCK-43P3Aトヨタ エスティマ(ACR5*W/GSR5*W)(H18.1〜H26.8)エスティマハイブリッド(AHR20W)(H18.6〜H26.8)専用サイドカメラキット Datasys贈り物tem:パーツショップ アドバンス2輪 スウェッジライン フロントホースキット R&通販K/クリア 品番:RAF425 スズキ GSX-R1100 GU74A/GV73A 油冷 1986年〜1988年 JAN:4548664400126:オートパーツエージェンシー<受注生産約2週間>OX オックスフロントシェイダー ミラココア(675・685) ブラッキースモーク FS-213贈答品B:カー用品卸問屋 NFRアペックス パワーインテーク 507-T014 トヨタプレゼント マークII/クレスタ/チェイサー JZX100 1JZ-GTE 1996年09月〜2001年07月:オートパーツエージェンシーマグナ50(MAGNA FIFTY) ホイールタイプショートアルミビレットレバーセプレゼントット ゴールド U-KANAYA:バイク メンテ館【業務用】ヴォストフ グ購入ルメ牛刀包丁 4562-20 両刃:EC・ジャングルアシックス(asics) ハ買い物ンドボール GEL-FIREBLAST 2 ゲルファイヤーブラスト THH541 パイン×ホワイト 24.0cm:アプスター -APSTAR-
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学