SWAGE-LINE スウェッジライン フロント ブレーキホースキット ホースの長さ:100mmロ買い物ング ホース贈り物カラー:クリア ZX-10R:ウェビック 店

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlU-KANAYA レバー スタンダードタイプ ア通信販売ルミビレットレバーセット レバータイプ:ロンショッピンググ(レバー部全長:約173mm) アジャスターカラー:オレンジ レバーカラー:シルバー ゼファー1100 ゼファー1100RS:ウェビック 店njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.html【沖縄・離島除き送料無料】プーマ PUMA トレーお中元ニングジャケット 862216-95 ダークシャドウ/パロットグリーン (スポー買い物ツウエア トレーニングウェア ジャージ サッカー メンズ 男女兼用):スポーツファイン店njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlPOSH Faith イニシャルアジャスター カラー:チタン XJR400R Zお中元RX400/ZRX-2:GooBikePart通信販売s支店njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlUK18-8 B渕ロイヤルコーヒーポット ショお中元通販ートスポット 7人用 (PKCJ107):スタイルキッチンnjmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlRDmoto アールディーモト ガード・スライダー クラッシュスライダー・ガード(Cras二輪車h sカスタムliders) アルマイトカラー:ブルーアルマイト スライダーベースカラー:ホワイト MT-07:ウェビック 店GOODRIDGE グッドリッジ ビルドアライン 車種別ブレーキホースキット ホースカラー:スモーク VMAX 1200オンラインショッピング 85-08:ウェビック 店AURIX [オーリッ買い物クス] AKIDA-R1 3M:特選パーツカー狂

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
【中古】中古部品 ステップワゴン RK1 スピードメーター 【1347929買い物7】:e-cleマートフジツボ 【 レインボーフィニッシャー 】≪ 装着可能テール径 100Ф 製品全長 191mm ≫≪ ショッピングカラー ダークブルー 最大スライド量 60mm ≫ フィニッシャー形状 ラウンドストレート 102.6Ф ※組み合わせるマフラーによっては装着し辛い場合有※ 【 品番 109-10022 】:アールエス【MRA】 スクリーンレーシング 【ZX-12R 00-01】 (グラデーション有) 【MR623】:Dimeギフトnsion-3【送料無料】Nike Nike ナイキ Dri-FIT Dri-Fit ドライフィット Run ラン Speed Speed スピード Tights Tights タイツ - Mens メン買い物ズ Midnight navy 紺・ネイビー/Hyper Cobalt/Reflective 銀色・シルバー:スニーカーケース 店バリお中元バス LT KAWAHAGI カワハギ 180-82:フィッシング まつきパタゴニア PATAGONI通販A ウェットスーツ メンズ MEN'S R3 YULEX / NEXKIN FRONT-ZIP FULL SUIT/USモデル #88074:スノーボードSHOP 【Aila】アイラカーマット フロアマット ダイハツ タント 22年9月〜25年10月 2WD/リアヒーター無-スタンダードブラック:通信販売PARTSJASAA認定 乗用車用 高性能タギフトイヤチェーン タフネスクロス TX-23:Shop E-ASUホーリーエクイップ HollyEquip フロントフェンダー XR80(85-00):ウェビックプレゼント 店送料無料 MIZUNO(ミズノ) 2016-2017モデル 少年軟式野球バット BEYONDMAX OVAL(ビヨンドマックス オーバル) 80cm/560ショッピングg FRP製 1CJBY12280:スポーツガイドonlineROLAND SANDS DESIGN ローランドサンズ デザイン RSD グリップ トラッカー クローム TBW FOR 08-13 ツーリング系 品番 0063-2022-CH ハーレー パーツ:ハーレーパーツ通販デポ【ajito】AIT ノイワットダン NOI WATDAN プレゼントタイ製 新型PCX3型 ローダウンシート エナメルダイヤモンド ブラック(防水カバー付) HONDA PCX125 JF56 / PCX150 KF18 AIT-NW-P-041:UraHara Style店【送料無料】 ビルドアライン BUILD A LINE ステン フロント CBR900RR 98-99 20611250 【 バイクパーツ ブレーキ ブレーキアウトドアホース 】:eSPORTS支店【送料無料】BRIKO ブリコ Sお買い得UPER RACE スノーゴーグル ダブルレンズ メンズ レディース J10381-600-13 F383(BLACK-GOLD) 春スキー:スポーツショップ プロパゲートアジャスタブルクラッチショートレバー ブラオートバイック LSL(エルエスエル) DUCATI Monster800/S2R-800(03年〜):バイク メンテ館BRC Z400FX エンジンガスケットセット Z4通販00FX-E1〜E4 逆車Z400J:バイクブロス支店【送料無料】アーククエスショッピングト コラントッテ GGF-V8801 X1 ハイネック ロングスリーブ シャツ ブラック XL:A-PRICE店BATTLE FACTORオンラインショッピングY カーボン製2次カバー(クラッチカバー用) ZX-6R:GooBikeParts支店Prince(プリンス) ツアープロ ゼット 2 CG ブラック×イエロー DPSZC11 RED/NVY 27.お中元0cm:COM-WINGSX-R750(08〜10年) スクリーン SRタイプ ダークスモーク ゼログラ贈り物ビティ(ZERO GRAVITY):バイク メンテ館サンライン(SUNLINE)EVHOTヒータージャケット SCWプレゼント-6116【フィッシュカモカーキ Mサイズ】:釣具のフイッシュランド店国土交通省型式承認ライフジャケット 自動膨脹ショルダー式 作業用 LG-1型 ブラック:Gお歳暮OOD DAY SHOPコーリンプロジェクト ユーロテール レッドタイプ オデッセイ RA1/5 HTRA1ODSE-B-CR-01(旧型番:HO3-3買い物04)【RCP】:カー用品・家電通販の1BOX(まとめ買い ケース販売)(業者向け)プラスプラス キッチンポリ袋 HD-L 半透明 50枚入 (通信販売100セット入)/ オルディ:街の雑貨屋さんPOSH Faith ポッシュ フェイス イニシャルアジャスター イニシャルアジャスカウルター TYPE1 カラー:チタン CB400 SF/VersionS/V-TEC SPEC-II/III:ウェビック 店スノーピーク Take!チェア snowpeak スノーピーク 送料無料 【LV-通販080】【smtb-TK】:PLOW(プラウ)レッドキャップ295 JRC-295 電動ポフィッシングンプなし 4人乗り ゴムボート ジョイクラフト:ネオネットマリン店オートマフルード ATF オイル ADバン VHNY11 用 マチックフルードD 20L KLE22-00002 純正 ○ニッサン 買い物日産 NISSAN☆:Star-PartsEHX6061 ZY Special Edition Fiber Carbon 08 マットグリーン/アローシャイニーブラック L/XL rh+ アールエイチプラス ヘルメット EHX6061ZY-MGRSBK-XLX お取り寄せ【自転車小型】★:カホーオンラインショップ【メーカギフトー在庫あり】 CLP-226 クレバー CLEVER ウィンターパンツ 女性用 オフブラック Mサイズ:ヒロチー商事 ハーレー 店●メジャークラフト クロステージ CRS-802H/B ハードロックゲーム 【送料無料】 【marod】オンラインショッピング:釣具のバスメイトインフィニティ【F】【新品】 【ゴルフウェア】【メンズ】【秋冬ウェア】 ビバハート パンツ 011-72012 【w35】:ゴルフバカ一買い物代シグお歳暮ナスX(CYGNUS-X)4型 Qmotocraft社スポーツマフラー純正ルック 125〜160cc KN企画:バイク メンテ館【エントリーで店内全品ポイント10倍!5月25日(木)10:00〜お買い得】CUSCO ストラットバー CR-Z ZF1 クスコ ボディ補強:車高調 カー用品専門店 車楽院15-16 COLLECT MANIA スノーボードウェア NO-04 Bib Pants コレクトマニア ビブパンツ SP-DESIGN エスピーデザイン:folお中元lowsALPINE アルパイン プリウス(50系)専用 プレゼントHDRバックビューカメラパッケージ HCE-C1000D-PR-W:カー用品卸問屋 NFRAN-BU セパレートハンドル 1インチ39φ 仕様:ディンプル加工あり 汎用:バイ通信販売クブロス支店5ZIGEN 【 マフラーカッター 】 マツダ アクセラスポーツ 型式 BL5FW 確認車両年式 H23 ※バンパーオンラインショッピング位置関係要注意 ≫≪ 出口 119x85Ф シングル出仕様 ≫【 品番 MC10-16122-001 】:アールエスCUSCO (クスコ) ストラットバー Type OS ミツビシ ミラージュ ショッピングCC4A 91.10 - 95.9 タワーバー [508 541 A]:パワーウェブ2号店【中古】再生部品 カローラレビン AE111 左フロントドライブシャフト 【1658232】:e-clショッピングeマート2輪 アクティブ DNA モトフィルター RM-4004 JAN:4538792464336 TM Sお買い得MX250FES:オートパーツエージェンシー2号店D通信販売729【ピクシススペースカスタム L575A / L585A】H25/7-ベレッツァ ワイルドステッチ シートカバー:GCJ_STORE2輪 サンスター ブレーキディスク リア プレミアムレーシング ホール LR022 スズキ GSX-R1100 1100cc 1986年〜1988年:オ贈答品ートパーツエージェンシーMoto MPH モトエムピーエイチ テールランプ TAILLIGHT DUC MONSTER B [2010-122お中元2] Monster 1994 - 2007:ウェビック 店【USA在庫あり】 1501-0412 DRAG ラウンド テーパー バー(シーシー4STミニバー アップライト) 04年以降 XL 黒:株式会社ヒロチー商事 店日産/ピットワーク リアマフラー AY280-KE091 スズキ アルお中元トラパン HE21S ターボ 2002年10月〜:オートパーツエージェンシー

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlワイドトレッドスペーサー通販【11mm】シビックハイブリッド/ES9/ホンダ/PCD 4H-1通信販売00■キックス Kics W.T.S. ハブユニットシステム【2枚1SET】ワイトレ ツライチ 11ミリ/1.1cm/1.1センチ:カルースオートパーツnjmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.html【USA在庫あり】 0521-0845 190121 メイヤー maier ラジエター スクープ 09年-10年 ヤマハ YFZ45プレゼン通販ト0R 白:株式会社ヒロチー商事 店njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.html【送料無料】Under Armアンダーアーマーour Spotlight MC - Mens メンズ Metallic 銀色・シルバー/赤・カーディナル/Steel スティール Town Gold:スニーカーケース オニツカタイガー店njmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlトーヨー デルベックス M934 195/70R17.5 112/110L 【スタッドレスタイヤ】【小型トラ来店ック】【タイヤ交換可】【東京都】【17.5インチ】【195-70-通販17.5-112】 1005_flash:タイヤショップGoodmannjmntzt.htmlnjmntb3.htmlnjmntc0.htmlnjmntys.htmlnjmntai.htmlZEROGRAVITY スクリーン スポーツツーリング カラー:スモーク GSX-R600 GSX-R750:GooBikePaオンラインショッピングrts支オンラインショッピング店【USA在庫あり】 320310 31-K721A12-2510B デューロ DURO タイヤ DI-K721A 25x10x12 リア:株式会通販社ヒロチー商事 店CUSCO(クスコ) パワーブレース トヨタ クラウン GRS214 2GR-FSE 用:リデショッピングューカークリエーション

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899