最終更新:2016/05/22
ROSSIGNOL(ロシニョール) ジュニアスキー+ビンディングセット FUN GIRL XELIUM Kid 【送料プレゼント無料!】【smtb-TK】:クニスポ! 店[Projectμ] プロジェクトミュー ブレーキパッド NS-C 前後 1台分 セット 【エリシオン RR3 (FF) 04.新車5〜 3000cc】 本州・北海道は送料無料 沖縄・離島は送料1000円(税別):オートクラフトGREEN(グリーン) エアフィテールライトルター 純正交換タイプ 82-86 BMW E30 323I:PARTSALPINシリコンプラグコードE アルパイン 9型リアビジョン取付キット ハリアー専用 KTX-Y109VG:カー用品卸問屋 ニューフロンテアスパーお中元キー/S221E,S231E/H12.9〜H15.8 トヨタ■新車時 38B20L 搭載車用N-60B19L/C6【パナソニック カオス ブルーバッテリー】:カルースオートパーツ酔心 空気清浄機  ガスコンロイノックス本焼和包丁 和牛刀(両刃)21cm<ASl-57>:マタカツ大栄テクノ リアマフラー MMT-6010 ミツビシ フソー4tトラック FK335/345/415/416 ターボを除く 1984年02月〜1990年02月 JAN:4571146290106:オートパーツ贈り物エージェンシーAP メッキドアノブカバー & メッキドアモールカバショッピングー AP-TN-MK029 入数:1セット(9点) スズキ エブリィー DA64:オートパーツエージェンシー2号店送料無料 TOYO G5 スタッドレス 1本 冬SALE 225/45R17 225/45-17:シンシアモーお買い得ル 店*エムケー精オンラインショッピング工*EP-H10D 電動ポンプ用ホース [強力型・10m]:給湯器とガスコンロのお店TGR TECHNIX GEAR TGRテ大型バイククニクスギア イニシャルアジャスター コンプレッションアジャスター GSX-R750:ウェビック 店通信販売TRD ≪TOYOTA86 プッシュスタートスイッチ≫ 【トヨタ86 [ZN6] H24.04〜(GT-Limited, GT専用)】:オートクラフト【アタゴ】 デジタルポケット ラーメンスープ濃度計 PAL-96S 化粧品【キッチン用品:調理用具・器具】【ATAGO】:ビューティーファクトリー:ベルモ【送料無料】 スワンズ SWANS メンズ レディース サングラス アイ通販 ソウフィール SOU FEEL SOUF-0715:スポーツゴリラCUSCO クスコ ロアアームバーver2お歳暮セリカ GT-4 ST185H RC専用 フロント用 ロワアームバーver2【152 477 A】:オートクラフト【N-WAGON キャリパーカバー】 JH1 N-WAGON 13.04〜 フロント左右 CCプレゼントF:カー用品 カスタムハウス【中古】中古ショッピング部品 VW ゴルフ 1JAPK 左ヘッドライト 【13293818】:e-cleマートミズノ MIZUNO 中綿ウォーマー上下セット P贈答品2JE4523-P2JF4523 C 1410:スポーツネットマツヤマ店タナックス(TANAX) スラントタンクバッグM (ブラック):D-na(デ贈答品ィーナ)家具・インテリア◇販売終了 ■CLAZZIO(クラッツィオ) Clazzio S ホンダ フィット H13/6〜19贈り物/10 GD1/GD2/GD3/GD4【EH-0380】:パーツショップWAVE店ツバキ チェーン Tsubaki Cha通信販売in Kit (525-type OMEGA ORS)【ヨーロッパ直輸入品】 17 46 SMR450 (450) 03-04:ウェビック 店ブライトM11プロ 牛刀 M1102 30cm【業務用包丁】【洋包丁】【キッチンナイフ】【洋食包丁】【通信販売Briet-M18Pro】【業務用】:KIPROSTARストア大自工業 メルテック/Meltec 直流安定化ホームデンゲン DE-350:オートパ通販ーツエージェンシー2号店[56202] BLITZ / SUS POWER CORE TYPE LM N-BOXカスタム JF1/JF2 オンラインショッピング13/12〜 S07A(ターボ車):パワーウェブ2号店A中型バイクngel Hearts エンジェルハーツ ライディングジャケット フェイクレザージャケット AHJ-3114 サイズ:WL:ウェビック 店インペラーポンプ23610-3103/24V:ネオネットマリPWCン店Promark プロマーク 軟式・ソフトボール用バッティングトレーナー ネット広お歳暮角 HT-77:ライフ&ビューティWUSTHOF(ヴ贈り物ォストフ) カービングナイフ 4522-20 ADL27:リコメン堂ビューティー館【日産】お中元ステージア 専用フロアマット [年式:H13.10-16.08] [型式:M35] 2WD 運・助手席パワーシート無 (ベーシックシリーズ) 【送料無料】 Elgan(エルガン):elganカーマットファンベルトテンショナーASSY ベルトセット ソアラ UZZ32 用 BショッピングFAT012 バンドー BANDO ☆トヨタ TOYOTA○:Star-PartsSWAGE-LINE スウェッジライン リアタイヤ ブレーキホースキット ホースの長さ:30mmロング ホースカラー:クリア NS250 F/R 84-86:ウェビック 店【送料無料・3ポイント倍!】キタコ(KITACO) インジェクションコントローラー I-MAP ズーマー FI車 763-1通信販売135000:風来堂 店【送料無料】【限定品】mizuno(ミズノ)! トレーニングウエア 『ミズノプロ ブレーカーシャツフルZIP&パンツ 上下セット』 <12JE6W81-12JE6ショッピングW81> 【野球用品】【ウェア】【スポーツ】【ミズノプロ】:SPORTS INFINITYHST/辻鐵工所 テールパイプ 品番:046-201TP イスズ エルフ NHS69 1993年07月〜1999年04月 JAN:通販4527711015117:オートパーツエージェンシー2号店【smtb-TK】【頑張って送料無料!】Tojiro-Color 牛刀サーモン300mmバーベキュー:村の鍛冶屋Easton MLF5 Maple Fungo ベースボール バット (37-Inch, Clear/Bプレゼントlack) (海外取寄せ品):シアターZRX1100 ガス封入式ブラック/シルバー リアショック U-CP(ユーシーピー):バイク 盗難防止メンテ館ハイパフォーマンスドライブキット GRONDEバイクMENT(グロンドマン) PCX125(NC125D-)タイ生産モデル:バイク メンテ館Bellezza シートカバー カジュアルGタイプ ホンダ フリード 型式 GB5 年式 H28/10- 定員 7人 ≪ 2列目6:4分割ベンチシート車用 ≫※1列目背プレゼント面バックテーブル付&USBチャージャー付不可:アールエス【イベント開催中!】 KOHKEN コーケン(旧光研電化) リアキャリパーサポート 【カラー通販アルマイト】 カラー:ブルー GSX-R1000:ウェビック 店★江部松 ( EBM ) EBM 18-8 天板ドーリショッピングー 8枚取用 470×370×130 【あす楽(平日のみ出荷)/代引除く】:ヒットライン[B10-008F2] BRAHMS(ブラームス) ブラインドシェード フロントセット フォルクスワーゲン Passat V贈答品ariant(パサート ヴァリアント) - H23/05〜:パワーウェブ2号店TRUST トラスト AIRINX エアインクス Bタイプ インプレショッピングッサ GDB EJ207(T) 00.10〜07.06 クリーナー:AY-MB アダプター:M80 SB-M006B 【12561006】:モーストプライス
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学