最終更新:2016/05/22
【USA在庫あり】 0632-0553 0063-2013-CH パフォーマンスマシン スロットルハウジング 08年以降 ツーリ贈り物ング クローム:ヒロチー商事 ハーレー 店ハーレーFXD純正ウィンショッピングカーリレー☆▼68537-89F!モジュール!【中古】:ティーエスパーツ 店アルパイン KTX-Y1413K リアビジョンスマートインストールキット 【ノア/ヴォクシー/エスクァイア(80系) ツインムーンルーフ付車 PCH-Rお歳暮M3505/PCX-RM3505/TMH-RM3205/TMX-RM3205/TMX-RM3005シリーズ対応】:クレールオンラインショップ【15インチ】単品set 【Winter アイスアシンメトリコ】195/60R15【ZEPHYR MESH】6.0J-15inch 5穴 PCD100 in45 TY-21HEX M12×P1.50セリカ(ZZT230 ZZT23通信販売1)等にお勧め新品激安 スタッドレスホイール 付 1輪分 195-60-15 【送料無料】:宅配タイヤ太郎【 スバル インプレッサG4 型式 GJ7 4WD 2000cc 年式 2011/お中元12-2016/9 ※内装要加工 【 リア 】≪ タイプ:OS オーバルシャフト 断面:タイプ1 ≫】 クスコ CUSCO 【 ストラットバー 】【 商品コード 694-541-A 】:アールエスRIDEA 可倒式アジャストクラッチレバー 本体:ブラック アジャスト:ブラック MT-09買い物:GooBikeParts支店GOODS SR400/500(01-) オールドバー ワイヤー、セット 仕様:ロー カラー:ク贈答品ローム SR400/500:バイクブロス支店【中古】中古部品 キャンター FE70Dお買い得B フロントエキゾーストパイプ 【13492330】:e-cleマート贈答品可倒式スライドクラッチレバー DI-AC-022 Dimotiv(ディモーティブ) バンディット650/650S(BANDIT):バイク メンテ館SWAGE-LINE フロントホース&クラッチホース セット ホースエンド:アルミ/レッド&ブルー ホース通販カラー:クリア CB1100 TYPE1:バイクブロス支店カーブデザイン レ通販ディース サーフィン スポーツ Carve Designs Belles Beach Rashguard - Women's Black Sierra/Black:asty【USA在庫あり】 065通信販売1-0435 44254 マグナム MAGNUM アイドル ケーブル 34.75インチ 黒 08年-11年 FLSTSB 56934-07A:ヒロチー商事 ハーレー 店アトレーワゴン S320W S330W オイルエレメント1個サービス タイミングベルトセット 送料無料(北海プラグコード道・沖縄・離島・中継料は除く) ▼ダイハツ DAIHATSU▼:Star-Parts【送料無料】【382】ギフトLeFH-e(リーフ・イー) GT120 moto LEDヘッドライトバルブ〈H11/H9〉/200079:バイク用品の達人U-KANAYA 高精度アルミ削り出しビレットレバーGPタイプ レバー:ゴールド ツマミ:チタン MT-01ショッピング:GooBikeParts支店ネーヴェ デザイン スタ贈答品ジオ ヴェルファイア 20系 Chrono Force FRONT TYPE-TPE:TopTuner 店[ウイッシュ 20系H21.04〜※エルゴテックスオプション装着車]BRiGHTX/ブライトX LEDドアミラーウインカー クリアタイプ トヨタシリーズ W-03:業販ネットショップ店才谷屋ファクトリー アッパーカウル/買い物レース/白ゲル 仕様:ビス止めver YZF-R15:バイクブロス支店KIT-RUSH エブリィ 51 リア買い物スムージングプロテクター:Autostyle【店頭受取でP5倍(要エントリー)】New BEETEL 9CAZJ ダウンサス リア Espelir SuperKTS DOWNSUS ESL-078R エスペリア:KTSFACTORYpivot ピボット 3-DRIVE THC コンパクト スロコン ステップワゴン RGギフト3/RG4 H17.5- K24A:オートクラフト【メーカー在庫あり】 1063153SU アクティブ ACTIVE 車種専用スロットルキッお買い得ト TYPE-3 巻取径φ28 04年-12年 CBR1000RR ステンレス/ガンメタ:株式会社ヒロチー商事 店[送料無料] 16-17 ロシニョール スキー ski ROSSIGNOL 2017 HERO ELITE ST TI (KONECT) + SPX 12 KONECT DUAL WTR B80 (金具付き) 小回り系スキー レ買い物ーシング (oc):RAFBQ02 [40_off] [SP_SKI_SKI]:パドルアウトドアクラブ【防寒】【送料無料】ATHLETA アスレ贈答品タ 2016AW O-Rei デチャッタブルハーフコート(フェイクダウンジャケット) REI1026:【フットボールスタイル】twelvesp【純正】DAIHATSU HIJET CARGO ダイハツ ハイゼット カーゴ【S321V S331V】  荷室マット(5mm)(リバーシブル)【仕様は下記参照】[999-02060-M5-287]:車の部品屋 C-parショッピングtsSPARCO RACING お買い得Glove レーシンググローブ ARROW H-7 Size:07 白:Autostyleフォレスター SJ系 ハロゲン仕様車(H27/10〜) フォグランプ LEDコンバージョンキット H16 20W 6000K 2500lm 光軸調整済み 純正準拠 ホワイト gracias 汎用 左右セット【即日発送】:HIDA-LEDAシートカバー クラッツィオ【イベント開催中!】ACTIVE アクティブ ハイスロキット 車種専用スロットルキット[TYPEギフト-2] インナー巻取径:φ36 ホルダーカラー:ブラック YZF-R1:ウェビック 店【店内全品ポイント2倍】ラジエターホース APP ラジエターホースシステム 赤 E-PS13/E-KPS13/E-RPS13/E-KPRS13 シルビア/18お中元0SX E-PS13/E-KPS13/E-RPS13/E-KPRS13 レッド ステンレスメッシュ ラジエターホース:KTSFACTORYHONDA ホンダ NWGN エヌワゴン ホンダ純正 1通販4インチ アルミホイール MC-001 (ブラック塗装)[年式2016.6〜次モデル][ 08W14-TDE-000 ]:SIMONS STOREアングラーズデザイン/ADW-11 トライアルブーツ買い物フットウェーダー BK M【RCP】:フィッシングショップ風月堂EnjoyMFG エンジョイ その他シートパーツ シートカバー シートスタイル:サイド・オレンジ/トップ・黒/リブ・オレンジ XC-XCFモデバイクル 11-12:ウェビック 店ブリッツ/BLITZ サスパワーコアタイプLM E2 レッド No.オンラインショッピング59200 トヨタ/TOYOTA エスティマ MCR30W,MCR40W 1MZ-FE 2000年01月〜2006年01月:オートパーツエージェンシータクティカルポーチ ミリタリーポーチ サバイバルゲームMOLLE Pouches - Compact Water-resiオンラインショッピングstant Multi-purpose Tactical EDC Utility Gadget Gear Hanging waist Bags(L 6.5" X H 6.5"- Black With Button):ファミリーポケットデサント EKS+THERMO JACKET DS-DAT3557-WHT:ZIPスポーツ ショッピング支店2016 S1 SPEEDO(スピード) SD64C03 FASTSKIN FS-PRO2 ボーイズ 競泳水着ジャマー ゴーグル低抵抗・ハイパワー!:スポーツマート美品 【中古】 美品 ALINCO DJ-G7 FMトランシーバー トリプルバンド K2222245:ReRe通信販売(安く買えるドットコム)明るさ3300ルーメン!【明るさ・視認性・白さを追求】 RGギフト レーシングギア 純正交換HIDバルブ ルーメン・プラス D4S/D4R共通タイプ 5500K [RGH-RB855]:カー用品卸問屋 ニューフロンテア【DAYTONA/デイトナ】フェンダーレスキット GSXR1000(-07)オンラインショッピング【送料込/送料無料】【ポイント10倍】:ユニクラス 店キャプお中元テンスタッグ クイックシェード 300UV PAL-M3276:ZIPスポーツ 支店江洋ラジエーター(KOYORAD) * ホンダ シビック(DENSOタイプ) E-EK2 D13B 贈り物95.9〜97.8 (M/T車) 純正番号: 19010-P01-003 相当品:カー用品卸問屋 ニューフロンテアDR-Z400SM純正マフラー☆▼SK44A(29F7)人気のフ通販ルエキ♪【中古】:ティーエスパーツ 店【完売】【送料無料】【完全組立発送】2009シボレー アルミ製小径クロスバイク AL-TR246-OT(24インチ/6段変速付)【しなやかなプレゼントラインが美しいシェビーのミニクロスバイク(小径車)!】(一部地域送料無料対象外):自転車専門店 タイム(TIME)
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学