JMS NEWラゲージBOX M(B-27SL) セキュリティ仕様 カラー:白 汎用:GooBikeP買い物arts買い物支店

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

bzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.htmlAN-BU アンブ MSDスーパープラグコードセッお買い得ト カラー:ブラ贈答品ック K100:ウェビック 店bzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.html【中古】中古部品 ボルボ 70 SB5244W 右フロントキャリパー 【13518236オンラインショッピング】:e-clショッピングeマートbzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.htmlアンダーアーマー Under Armour Women's UA Achieオンラインショッピングve T-Back Tank 【アメコミヒーローデ通販ザイン ヒートギア】:premium stone gallerybzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.htmlリンクス&キングス/リンクス&キングス 日本正規品/ヘッドカバー フェアウェイウッド用ヘッドカバー 牛革製 3贈り物 アメリカ発 星条旗刺繍付【国内送料無料】Links&アンパスィKings【レディース】【メンズ】リンクス&キングス 日本正規品:【T-on】ティーオンbzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.htmlトヨタお中元/タクティー クラッチカバー V9116-Z011 イスズ エルフ P-NHR5通信販売5 4JA1 1988年07月〜 2800cc:オートパーツエージェンシー2号店【デッドストック】エスパニョール 95-96 ホーム 半袖 ユニフォーム【PUMA/プーマ】【新品・タグ付き】【サッカー ウエア レプリカユニフォーム】【ス買い物ポーツ ホビー】:fcFA スポーツ&ホビー館代引きは送料が加算されま贈り物すザッカレラZ183AZC183-A03 ザッカレラ陶器のクロック シンプル/リビング/雑貨/寝室:健康機器と時計のココデス(CCDS)

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
アルト/G【HA24S】【16/9〜21/11】【詳細要確認】Ti2000 DOWN1台分【smtタクミ GHXb-TD】【saitama】:リムコーポレーション【送料無料】2017 横浜F・マリノス HOME レプリカユニフォーム/ユニフォーム買い物【smtb-f】:サッカーショップ加茂店カーメイト エンジンスタ通信販売ーター カローラアクシオ HV H27.04〜 165系 プリクラッシュセーフティシステム無イモビ無 TE-W5100+TE105:業販ネットショップ店SR400 アップハンドル セット 03-08 ブラックメッシュ ダークメッシュ6ベント アップハン バーテックス SR400 アップハンドル:Bike man買い物2輪 プロジェクトミュー ブレーキパッド BP-113K×2 ハイパーカーボン リア Wお歳暮ディスク車 スズキ GSF750 1996年〜2000年:オートパーツエージェンシー2号店Pプレゼントuig クラッシュパッド R-TYPE カラー:ブラック GSX-R750/600:GooBikeParts支店■HKS スーパーパワーフローリローデッド スバル レガシィB4 LEGACY B4 DBA- BM9 EJ25 509マフラー/05- 70019-AF011→マイナーチェンジ品番【70019-AF106】にてお届けとなります。:パーツショップWAVE店【USA在庫あり】 0652-1022 32054HE マグナム MAGNUM クラッチ ケーブル 65.25オンラインショッピングインチ クローム ハンドルカスタム用:ヒロチー商事 ハーレー 店【USA在庫あり】 SA-Y06-421 PWSAK-Y06-421 ピボットワークス Pi贈り物vot works スイングアーム ベアリングキット 98年 WR400F:株式会社ヒロチー商事 店KYB(カヤバプレゼント) New SR SPECIAL フロント[L]1本 インプレッサ(GF2A/B/C/D-53R) C’Z NST5121L:エスクリエイト【USA在庫あり】 3341-0360 アクティバ Arctお中元iva グローブ SKY 女性用 ピンク XXLサイズ:株式会社ヒロチー商事 店【 ナイフ 】 > 【 和式ナイフ 】 > 【武ビクトリノックス生 佐治武士】 > 佐治武士vol.4 > 越前守III:岐阜関刃物工房V.ROAD【全品ポイント10倍★5/23 12:00〜23:59】【送料無オートウェイ料】【即日発送】■BRIDGESTONE(ブリヂストン)NEXTRY 225/55R18 98V(225/55-18 225-55-18インチ) 《検索用》タイヤのAUTOWAY(オートウェイ)サマータイヤ【RCP】05P01Oct16:AUTOWAY(オートウェイ)送料無料 【LODGE ロッジ】キャスト アイアン ダッチオーブン 9qtL12D03 LODGE CAST IRON DOTCH OVEN 9qt ダッチ贈り物オーブン(キッチン 用品 インテリア 料理 クッキング パン) アウトドア キャンプ:Z-CRAFTレディース フィットネス水着 セパレート ティア TCAFL-16S:水泳専門通販店MIHORO proud swimmer久保田スラッガー 一般軟式グローブ 外野手用大 KSN-SPY:KYOEISPOR通信販売TS店防水スイッチパネル 【6連 ON-OFF】 306926 【あす楽_土曜営業】:キサカダイレクトシート 店【フレーム通販のみ】 ミズノ Mizuno メンズ レディース テニス ソフトテニスラケット ディープインパクト T-500 ネットプレーヤー向け 63JTN672:バイタライザーTOYO M614 6.50R16 12P TB 【6贈り物50-16】 【新品Tire】トーヨー タイヤ:矢東タイヤ【送料無料】匠 UN−RYU ペティナイフ 120mm UNR−03(キャンセル・返品・交換不可品)★税抜500お買い得0円以上で送料無料★激安祭【smtb-s】:あひるのドラッグ【送料無料】ラギオール アン オブラック シャンパンサーベル 3900 (キャンセル・返品・交換不可品)★全品お歳暮ポイント10倍!(P10倍)★★税抜5000円以上で送料無料★【10P01Oct16】激安祭【smtb-s】:ゲンキーCLAZZIO クラッツィオ フロアマット リア用(立体マット) ラバータイプ TOYOTA トヨタ HIACE VAN ハイエース バン 5人【型式200系】【年式H16/8〜次モデル】【商品番号ET-0237】:desir通販 de vivreウォーターポンプ ウオポン キャンター FE537B FE537BD FE537E FE537ET FE537EV エンジン 4D33 用 WPM-040 アイシン AISIN ○ミツビシ 三菱 MITSUBISHIキャリア○:Star-Parts【最大1200円offクーポン対象店舗】 ダお歳暮イワ クイックタイツ DT-4000Q10:フィッシング遊ハリケーン HBK588C-01 ナロー2型 ハンドルキット クロームメッキ フォルツァX/Z('ショッピング04-'07 MF08) ハンドルスイッチ穴加工済 ハリケーン hbk588c-01:Bike manGLOBAL 三徳3点セット GST-B46 あす楽通信販売:良品プラスX.A.M Japan (ザムジャパン) A5105X39 525-39T スプロケット A5ショッピング105X39:グッドカンパニーレースEXPエアー 7000 ブラック deuter ドイター バックパック D32133-7000 △△10 通販お取り寄せ【中型】★:カホーオンラインショップPivot(ピボット) PROGAUGE φ52 PT5-W トヨタ パッソセッテ M502/512E 3SZ-VE H20.12〜 タコメーター:リデューお買い得カークリエーションLEAD STRAX フルフェイスヘルメット Mサイズ SF-12:大宮通信販売パークドラッグストアー【アルパイン(ALPINE)】リアビジョン取付キット アルファード ルーフ無 KTX-Y113K:あきばお〜支オタク店アシックス (asics) ロングスリーブシャツ&ロングタイツCR上下セット(ブラプレゼントックブルー×ブラック) XA3029-9045-XA3523-9090 [分類:陸上競技 コンディショニングシャツ] 送料無料【05P04Feb17】【P04Feb17】:Sportsman 支店ヘッド ショッピングYOUTEK SPEED MP 16/19 HTM-230360-:ZIPスポーツ 支店カーマット フロアマット ダイハツ ムーヴ・コンテ 20年8月〜23年6月 4WD-スショッピングタンダードブラック:PARTSK&N 純正交換 エアフィルター BMW 用 / 33-2997:ゼブランお中元ドDAYTONA 【デイトナ】 ブレーキング 【BRAKING】 HO18FID 【76654】:プレゼントDimension-3グレッディ レーシングプラグ・イリジウムチューン JZX90 マーク2 1JZお中元-GTE 番数:8番 6本:PARTS【送料無料】ヨネックス(YON贈答品EX) バドミントン シャトル サイバーテック03 FC-03(FC03) 10ダース(120球1箱)セット:スポーツのニシヒロ店キノクニ ブレーキラインシステム レクサス G贈答品S350 GRS196 NA スチール製 【メーカー品番】KBL-004:カー用品通販ショップ VS-ONE最安挑戦 TOYO G5 スタッドレスギフト 2本 冬SALE 195/60R16 195/60-16:シンシアモール 店【中古】中古部品 チェロキー KJ37 左フロントストラット お中元【11435361】:e-cleマート【期間限定30%OFF】Wacoal ワコール<CW-X for Women 女性用>【GENERATOR Model REVOLUTION type】ロング丈スポーツタイツ(S・M・Lサイズ)HナイトウェアZY359[wcl-cwx-ws]:リバティハウス17SS アシックスベースボール(asics/野球) 硬式用 金属製 ゴールドステージ SPEED AXEL QUICK スピードアクセル QUICK BB7041-90 【RCP】 【送料無料】:Lafスポーツ用品itte (ラフィート)スポーツエンジンオイル ヤマハ 純正 ヤマルーブ スポーツ 20リットル バプレゼントイク用 90793-32639 *オイル・油脂*:MAP-SCROSS Sプレゼント1 シングル CRO386-4MF <ループ LOOP>:es-poonJRP 2013-2014秋冬モデル ウィンターグローブ GHW カラー:ネイビー/ブラお中元ック サイズ:LL:バイクブロス支店

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

bzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.html【予約受付中!】17-18 NOVEMBER [ ノベン買い物バー ] スノーボード【 RE買い物DLIVE 】 レッドライブノーベンバーハーフパイプ フリーライド SNOWBOARD 板 2017-2018:VOLTAGEbzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.htmlお買物マラソギフトン!!5月25日AMお中元1時59分まで!!買い回りでポイント最大10倍!! J-STYLE メンテナンススタンド ビードブレーカー(小)(ジェイスタイル):バイク・バイク用品のレオタニモトbzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.html【メーカー在庫あり】 RAF628 スウェ通信販売ッジライン SWAGE-LINE フロント ブレーキホースキット 89年-92年 ゼオンラインショッピングファー400 赤/黒 クリア:ヒロチー商事 ハーレー 店bzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.html【送料無料】 ドイター ディパック バックパック Giga(2ショッピング8L/dresscode-blお歳暮ack)D80414-7712:ビックカメラ店bzznnh4.htmlbzznn7j.htmlbzznnsw.htmlbzznnxr.htmlbzznn9s.html【代引・送料無料】パールイズミ 『お歳暮60買い物20-3D-3-XL』 6020-3D ウィンドブレークプリントタイツ (3.ブラック) XL [0332150003]:ちゃりんこ王国店【中古】 トヨタ 純正 NSDN-W60 08545-00T61 SD ナビ F2424289:ReRe(安く買えるドットコム贈り物)送料無料 Clazzio クラッツィオ シートカバー マーチ AK12 YK12 BNK12 シートカバー キルティング タイプ EN-買い物0532:カーパーツ専門店BoooN(ブーン)

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899