メッシュベスト[1-10]_蛍光オレンジ_B-769通販1V:eプロダクツジャパ通信販売ン店

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

zzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlFABULOUS RカーボンX-8 EYE LINE:TマフラーopTuner 店zzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.html【送料無料】アシックスボクシングMS色:ホワイト×レッド26.0■TB×704−0123−26.0★税抜5000円以上で送料無料通販★通信販売激安祭【smtb-s】:あひるのドラッグzzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.html【中古】中古ショッピング部品 レガシィ BP5 リアディファレンシャルギア 【888プレゼント0560】:e-cleマートzzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.html【贈答品中古】中古部品 プリメーラ WTP12 右ヘッドライト 【9956088】:e-cleマート買い物zzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlゼット学校体育 防球フェンギフトオンラインショッピングス(クルマ付) ZZ-ZN7517-:ZIPスポーツ 支店EL-6241 エルフ elf ナ贈答品イロンブルゾン 青 Lサイズ:株式会社ヒロチー商事 店【中古】中華まんスチーマー 贈り物吉田金属製作所 SME-654ST 幅380×奥行450×高さ765 【送料別途見積】【業務用】:厨房器具と店舗用品のTENPOS

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
1年保証 リビルト ミラ ココア L675S セルモーター スターター 28100-B2030【送料無料】(沖縄県及び離島\1000)【コア返却必要】:SPEED AギフトUTO PARTS 店アピオお中元/APIO レザーシフトノブ 品番:6031-06 スズキ ジムニー MT車:オートパーツエージェンシー2号店【業務用】サービスワゴン W7型 スチール仕様 W7A-P4606 【 メギフトーカー直送/代金引換決済不可 】:EC・ジャングルYY-G通信販売ジュニアゴルフクラブセット![9-12才]【130〜150】【初心者 初級者 ビギナー】【開店セール1212】【あす楽】:ウルトラゴルフ2輪 D.I.D ZVM-Xシリーズ シールチェーン ゴールド 114L ホンダ CBR1000RR(輸出仕様) 1000cc 2004年〜2007年:オートパーツエージェンステアリングブーツシー横ギフト山製作所 ROCKY ロッキープラス ルーフキャリア 一般物用 スチール+メッキ 8本脚 * スズキ エブリーランディ ワゴン DA32系 平成13年5月〜17年8月 【STR-520】:カー用品卸問屋 NFRYZF-R1(99〜01年) 可倒延長式アジャオンラインショッピングストレバー クラッチレバー/ブレーキレバーセット 本体/ゴールド アジャスター/レッド SSK(エスエスケー):バイク メンテ館【メーカー在庫あり】 SPS-103 シンプソン(SIMPSON) ショートシューズ 黒 27サイズ:ヒロチー商事 ハ買い物ーレー 店【yoroi】【ヨロイ】鎧プロテクター 鎧 LT short YR016 正規品通販10P03Dec16:k-town店K&N 純正交換 エアフィルター ホギフトンダ 用 33-2104:グッドカンパニークラッツィオ シートカバー ブロスクラッツィオ NEWタイプ N BOXカスタム JF1 JF2 Clazzio シートカバー 送料無料 EH-0324:カーパーツ専門店BoショッピングooN(ブーン)【USA在庫あり】 55プレゼント-1498 16-580-01 ゼログラビティ ZERO GRAVITY ウインドスクリーン ダブルバブル クリア YZF-R6 08-13:株式会社ヒロチー商事 店【フォルテック・パーク ワンタッチ栓マグボトル 370ml ブラック (FPR-6181) ※セット販売(24点入)】2017年 贈りもの・お返しものギフト[返品・交換・キャンセル不可]:プ健康食品リティウーマン【送料無料】粉引通信販売アイスペール 大 D06-60 RAI1201【TC】【en】:快適空間のお手伝い B&C【中古】中古部品 アクティー HA9 フロントエキゾーストパイプ 【13033909】:ショッピングe-cleマートYG-191 イエローコーン 2017年春夏モデル YオンラインショッピングCニューチタンプロテクターグローブ 黒 Lサイズ:ヒロチー商事 ハーレー 店clazzio 【 立体フロアマット 】≪ ラバータイプ 1台分 3枚セット ≫ ホンダ フィットハイブリッド 型式 GP5/GP6 年式 H25/9- グレード Fパッケージ/Lパッケージ/Sパッケージ Fパッケージコンフォートエディション ※ハイブリッド/DOPアームレストコンソール付不可:アールエトムススHot-Z Golf NewJuicy Couture ゴルフ US Military Cart bag (Navy/Yellow)【送料無料】【代引不可】【あす楽不可】【05P20Aug16】【0818】:【I LOVE LA】【ポイント2倍】キャロウェイ ゴルフ Callaway GOLF メンズ BIG BERTHA BETA ビッグバーサ ドライバー TourAD GP-5 2016 取り寄せ:UNITE通販D corrs コアーズ17SS SKINS(スキンズ) RY400メンズロングタイツグラファイトGRP B4通販3039001D-GRP 【RCP】 【送料無料】:Lafitte (ラフィート)スポーツK-FACTギフトORY ハンドルバーキット YZF-R25:バイクブロス支店CUSCO (クスコ) ストラットバーお中元 Type CB スバル インプレッサ WRX GC8 92.11 - 00.8 タワーバー [660 551 A]:パワーウェブ2号店POSH Faith[ポッシュフェイス]: ライトウエイトLED ウインカーセット(ブラックボディ・クリアチューニングーレンズ)/FAZE 【156652-06】:バイクパーツ MotoJam 店*ラインテープ(TC-506)(ダンロップよりお取り寄せ)【送料無料】(DUNLOP ダンロップ スポーツ器具 コート用品 テニス用品) 05P03Dec1通信販売6:テニス上達グッズ専門店 テニサポののじ 18-8 調理用丸型すくいカゴ 特大 KGA-005【ざる・カゴ】【給食道具】【厨房用品】【ステンレス】【キッチン用品】【調理用具】【キッチンツール】【下ごしらえ用品】【オンラインショッピングすくい網】:KIPROSTARストアワイドトレッドスペーサー【30mm】ブーン/M300系/ダイハツ/PCD 4H-100■DIGICAM デジキャン ワイドトレッドスペ改造ーサー【2枚1SET】ワイトレ ツライチ 30ミリ/3cm/3センチ:カルースオートパーツ★2010年モデプレゼントル★ローリングス★ソフトボール用グラブ★バディシリーズ★一塁手用★RS-50F★9019:ブラック×ピンク★L:右投げ★【【送料無料】】:カスカワ野球店【MOBBY'S/モビーズ】コンバ贈り物ットスリーバックルベスト JA-7100 ライフベスト 大人用 メンズ 男性用 JA7100:熊人店充電式携贈り物帯水素水生成器 Gyms・Silky ジームスシルキー HWP-33SL ■水素水 携帯ボトル 水筒 すいそすい 持ち運び 水素水生成:Happy×HunterVENTURA バイクパックシステム ベースセット XRV750P-V Africa Twin:ショッピングGooBikeParts支店【USA在庫あり】 1131-0547 KG216-8HPK KG Powersports クラッチ ディスクセット ハイパフォーマンス 04年以降 CRF450X通販 ケブラー:ヒロチー商事 ハーレー 店【中古】中古部品 ショッピングミニカ H31A リアマフラー 【9419200】:e-cleマートKenオンラインショッピングda K413 Scooter Tire (Sold Each) 4-Ply 130/90-10 (海外取寄せ品):シアター【USA在庫あり】 1741-3780 DRAG リア ブレーキライン ステンレス 標準長 12年-13年 FXS(ABS付き) (HショッピングCU-キャリパー) 43384-11:ヒロチー商事 ハーレー 店NAP O2センサー ニッサン 純正品オンラインショッピング番226A0-VG301 【NSO-8003】:カー用品卸問屋 ニューフロンテア【ダイハツ】【適合ギフト車種:アトレー】リビルトオルタネーター/ダイナモ【車輌型式:S120V/純正品番:27060-97208】:NCC部品センター【純正】DAIHATSU MIRA e:s ダイハツ ミライース【LA300S LA310S】  カーペットマット(ハイグレード)【仕様は下記参照】【ブラお中元ック】[08210-K2299]:車の部品屋 C-partsサンライン ストレートロッドギフトケース145 SFB-0452【大型商品】:プロショップケイズ店【中古】中古通信販売部品 bB NCP30 右ヘッドライト 【12840025】:e-cleマートミック 高品質1mmガルバリウム製 バーベキュ草刈り機ーコンロ/スライド脚 GA-800 (5〜15人用/幅800×高さ400〜700mm) [BBQコンロ][r11][s1-120]:ミナト電機工業【即納です。在庫限り!!!】マルマン-Maruman- マジェスティ-MAJEヨネックスSTY- PRESTIGIO 8 LADIES IRON プレステジオ8 レディース アイアン8本セット(#5-9,PW,AW,SW) (MAJESTY TL710シャフト)【ゴルフクラブ】日本正規品/セール 人気:パワーゴルフ(PowerGolf)【純正】SUBARU LEGACY OUTBACK スバル レガシィアウトバック【BS9】  カーゴステップパネル(ステンレ通信販売ス)[E7717AL000]:車の部品屋 C-parts贈り物Caltric STATOR フィット HONDA RVT1000R RVT-1000R RC51 2000 2001 (海外取寄せ品):シアターU-KANAYA ツーリングタイプ アルミビレットレバーセット アジャスタオートバイーカラー:チタンカラー レバーカラー:オレンジ HONDA:ウェビック 店【送料無料】久ギフト保田スラッガー BAT-51 硬式金属バット(高校生対応モデル):ビッグスポーツルーフキャリア PS227A テリオスルキア / J111G J131G / Pシリーズ スチール×ブラック塗装 タフレック TUFREQ 精興工業 ▼ダイハツ DAIHAエアコンフィルターTSU▼:Star-Parts

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

zzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlハリーギフトルイド/ハリールイド/ポロシャツ 半袖ポロシャツ COOL MAX ストレッチ 鹿の子素材 スキッパー襟【国内 送料無料】HALYRUID【メンズ】ハリールイド【2017年春夏新作】ゴルフウェア:ゴルフウェア【T-on】ティーオンzzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlACRE レガシィツーリングワゴン BH5 ブレーキパッド フロント グレード:ブライトン/TX/TX-#以外N贈答品A車用 塗装済みフォーミュラ800C:Autostylezzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlホンダ/HONDA ナビゲーションシステム バージョンアップレゼントプ CD-R贈答品OM Ver6.32 39010-S5A-355 オデッセイ RA6・7・8・9 100〜:オートパーツエージェンシーzzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlスノーボード17-18 DRAKE/ドレイパドルボードク RADAR レーダー メンズ ビンディング バインディング スノーボード 予約商品 2018:BREAKOUTzzgutt8.htmlzzgutte.htmlzzguto8.htmlzzgut8r.htmlzzgutwp.htmlGREGORY グレゴリー|Alpinist35 アルピニスト35:TオンラインショッピングAショッピングMAYA-GROUP店KENWOODケンウッ通信販売ドCMOS-310後継マルチビューカメラCMOS-320:car電倶楽部 店JAE 丸型防水JL05コネクタ プレスコンタクト ST-JL0水用5-16S-C2-100 2314 日本航空電子工業(株) 生産加工用品 電気・電子部品 同軸ケーブル用コネクタ 02P03Dec16:ぽんぷやさん

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899